Conjuntos minimales para flujos en superficies

Conferenciante: Hector Barge Yáñez (Universidad Complutense de Madrid)

Resumen:
En esta charla se explicará la dinámica de los automorfismos de S1 conocidos automorfismos de Denjoy. Veremos también que la suspensión de este tipo de automorfismos da lugar a flujos en el toro que admiten conjuntos minimales no triviales conocidos como conjuntos minimales de Denjoy. Si el tiempo lo permite veremos que utilizando algunos resultados a la teoría de índice de Conley y grado topológico se puede probar que si un conjunto minimal es aislado entonces es un punto fijo, un ciclo límite o el toro (flujo irracional), i.e. los conjuntos minimales de Denjoy no pueden aparecer de manera aislada.

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Entendiendo enfermedades respiratorias por medio de la topología algebraica

Conferenciante: Francisco Belchí Guillamón (University of Southampton)

Resumen:
En un proyecto conjunto entre el Departamento de Matemáticas y el Hospital de la Universidad de Southampton, tratamos de diagnosticar y tratar enfermedades pulmonares de manera más efectiva.

En esta charla explicaré cómo estamos utilizando herramientas topológicas para averiguar qué relación hay entre ciertas enfermedades respiratorias y cómo los bronquios se curvan y ocupan espacio en nuestros pulmones.

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Even Artin groups: quasiprojectivity and other properties

Conferenciante: Rubén Blasco García (Universidad de Zaragoza)

Abstract:
Artin groups are an interesting family of groups from both an algebraic and a topological point of view. In my talk I will focus on a special subfamily: even Artin groups, and I will present a characterization of the property of quasiprojectivity for the family of even Artin groups, which extends the result for right-angled Artin groups due to Dimca, Papadima and Suciu. Besides, I will also present other results about some algebraic properties of this family of Artin groups.

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Calculando el estandarizador minimal de un sistema de curvas en Dn

Conferenciante: María Cumplido Cabello (Universidad de Sevilla / Université Rennes 1)

Resumen:
Un trenza con n cuerdas induce un automorfismo del disco con n agujeros, Dn, que deja el borde fijo. Por tanto, el grupo de trenzas con n cuerdas se identifica con el mapping class group de Dn. Centraremos nuestro interés en cómo actúan las trenzas sobre clases de isotopía de curvas cerradas simples no degeneradas en Dn. En especial, nos interesaremos por el conjunto de trenzas positivas que transforma un sistema curvas, S, en un sistema de curvas estándar (donde cada curva del sistema es isotópica a un círculo). Este conjunto se denota St(S) y a sus elementos se les denomina estandarizadores de S. Lee y Lee, en su artículo “A Garside-theoretic approach to the reducibility problem in braid groups”, demuestran la existencia de un único elemento minimal en St(S). Nuestro objetivo será dar un algoritmo para calcular este estandarizador minimal. Después, generalizaremos el problema del cálculo del estandarizador minimal a subgrupos parabólicos de grupos de Artin-Tits de tipo esférico. El algoritmo para al caso generalizado se basa en el cálculo de la forma normal de un elemento de Garside y tiene por tanto complejidad polinómica.

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Generating a probability measure from a fractal structure

Conferenciante: José Fulgencio Gálvez Rodríguez (Universidad de Almería, conjunto con Miguel Ángel Sánchez Granero)

Abstract:
The main goal of this work is to generate a probability measure from a fractal structure. Since we want to define a measure, we take into account the theorems on construction of outer measures (Method I and Method II). First, we define a first measure on the bicompletion of X and then we explore conditions to ensure that the restriction of the measure to the original space is a probability measure.

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Compactificación de una acción diagonal en el producto de espacios CAT(−1)

Conferenciante: Mª Teresa García Gálvez (Universitat Autònoma de Barcelona)

Resumen:
En primer lugar, introduciré los espacios CAT(−1) y su compactificación por funciones de Busemann. Los espacios CAT(−1) son espacios métricos que satisfacen una cierta condición de comparación. Como ejemplos de estos espacios podemos pensar en el plano hiperbólico y en los árboles métricos.

A continuación, consideraré la acción diagonal de un subgrupo discreto de las isometrias de X, donde X es un espacio CAT(−1), en el producto X × X. Esta acción no es cocompacta, pero de forma similar a como se hace en el caso de las acciones de grupos kleinianos en el plano hiperbólico, podemos encontrar un conjunto de puntos ideales Ω tal que la acción en X × X ∪ Ω sí es cocompacta, además de propiamente discontinua.

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Espacios de Moore de dimensión dos

Conferenciante: Mikel Lluvia Blanco (Universitat de Barcelona)

Resumen:
Un espacio de Moore M(G;n) es un complejo celular simplemente conexo con un único grupo de homología G no nulo en grado n≥2, donde se asume que G es un grupo abeliano. Un espacio de Moore de este tipo es único salvo equivalencia homotópica. En dos artículos publicados en los años 2001 y 2008, Rodríguez y Scherer estudiaron los espacios que se obtienen a partir de espacios de Moore M(G;1) de dimensión dos mediante colímites homotópicos. En su trabajo, un espacio de Moore M(G;1) es un complejo celular conexo con grupo fundamental G (que no tiene por qué ser abeliano) y con grupos de homología nulos en grados mayor que 1. Estos resultados motivan la pregunta de si dos espacios de Moore M(G;1) de dimensión dos con el mismo grupo fundamental son necesariamente homotópicamente equivalentes, es decir, si el tipo de homotopía de un espacio de Moore M(G;1) de dimensión dos está determinado o no por el grupo fundamental. Veremos que así es cuando el grupo fundamental es finitamente generado y que de hecho se puede relajar la condición que exige que el segundo grupo de homología sea nulo.

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Categoría seccional abstracta en diferentes estructuras de modelo sobre los espacios topológicos

Conferenciante: Marco Moraschini (Università di Pisa)

Resumen:
Es bien sabido que la mayoría de los invariantes numéricos de tipo Lusternik-Schnirelmann sobre los espacios topológicos se pueden obtener a partir de la categoría seccional introducida por Schwarz in [5]. Recordamos que si f : XY es una aplicación continua, su categoría seccional secat(f) es el menor entero n tal que Y se puede recubrir con n + 1 subconjuntos abiertos sobre los que f admite una sección homotópica local.

Para estudiar este invariante en un contexto más general, los autores de [1] introdujeron la noción de categoría seccional abstracta en ciertas categorías de modelos llamadas J-categorías.

En esta charla, nos proponemos estudiar el comportamiento de la categoría seccional abstracta en diferentes estructuras de modelos propias de los espacios topológicos. Veremos que bajo hipótesis razonables, todos estos invariantes coinciden con la categoría seccional clásica.

Si el tiempo lo permite, al final veremos como los mismos resultados se pueden obtener a partir de la categoría de Lusternik-Schnirelmann [3] o de la Complejidad Topológica [2].

Referencias:
[1]  F. Díaz, J. M. García-Calcines, P. R. García, A. Murillo and J. Remedios, Abstract sectional category, Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, 19(3) (2012), 485–506.
[2]  M. Farber, Topological complexity of motion planning, Discrete and computational geometry, 29(2) (2003), 211–221.
[3]  L. Lusternik and L. Schnirelmann, Méthodes Topologiques dans les Problèmes Variationnelles, Hermann 1934.
[4]  M. Moraschini and A. Murillo, Abstract sectional category in model structures on topological spaces, Topology and its Applications 199 (2016), 1–144.
[5]  A. S. Schwarz, The genus of a fibre space, Amer. Math. Soc. Transl. 55(2) (1966), 49–140.

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A−álgebras y Teoría de Hodge Generalizada: una aplicación de los Teoremas de Zhou y Merkulov sobre la existencia de estructuras A en geometría

Conferenciante: María José Moreno Silva (Universidad de Santiago de Chile)

Resumen:
El objetivo de esta charla es mostrar la existencia de una estructura de A−álgebra sobre variedades Riemannianas compactas diferente a la canónica dada por el teorema de Zhou-Merkulov.

Teorema [Zhou-Merkulov]: Para toda dga (A, d, ◦) con métrica euclidiana o hermitiana tal que d tiene un adjunto formal d y A tiene descomposición de Hodge A = H ⊕ img d ⊕ img d, existe una estructura de A−álgebra en H con multiplicaciones superiores m1 = d, m2 = ◦, y para n ≥ 3 mn = (id[d,Gd])λn, con Gd el operador de Green y λn los tensores λ de Merkulov.

En la teoría desarrollada por Eiseman y Stone en su artículo “A generalized Hodge theory”, se tiene que si para una determinada 1−forma vectorial h se desvanece el tensor de Nijenhuis, existe una derivada exterior dh que tiene un adjunto δh con respecto al producto interno usual entre formas diferenciales de una variedad Riemanniana compacta. Este hecho permite definir un operador diferencial ∆h que es una generalización del operador Laplace-Beltrami. Y en consecuencia se puede obtener una generalización del teorema de la descomposición de Hodge clásica y por lo tanto, usando el teorema de Zhou-Merkulov, una estructura de A−álgebra diferente a la canónica.

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A Lê-Greuel type formula for the image Milnor number

Conferenciante: Irma Pallarés Torres (Universitat de València)

Abstract:
Let f : (Cn, 0) → (Cn+1, 0) be a corank 1 finitely determined map germ. For a generic linear form p : (Cn+1,0) → (C,0) we denote by g : (Cn−1,0) → (Cn,0) the transverse slice of f with respect to p. We prove that the sum of the image Milnor numbers μI(f)+μI(g) is equal to the number of critical points of the stratified Morse function p|Xs : XsC, where Xs is the disentanglement of f (i.e., the image of a stabilisation fs of f).

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Grupos Jordan de difeomorfismos y simplectomorfismos

Conferenciante: Carles Sáez Calvo (Centre de Recerca Matemàtica – UB)

Resumen:
Un grupo G se dice que es Jordan si existe una constante C > 0 tal que para todo subgrupo finito Γ existe un subgrupo abeliano A ⊂ Γ tal que [Γ : A] < C. Un problema interesante es caracterizar las variedades compactas X tales que Diff(X) es Jordan. Esto se puede ver como un primer paso hacia la caracterización de los grupos finitos que actúan de forma efectiva en X. En esta charla explicaré algunos resultados obtenidos hasta ahora en este problema, así como avances en el problema análogo para grupos de simplectomorfismos de variedades simplécticas.

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¿Puede tener torsión la homología extrema de Khovanov?

Conferenciante: Marithania Silvero Casanova (Universidad de Sevilla, conjunto con Józef Przytycki)

Resumen:
En el año 2000 Mikhail Khovanov introdujo un invariante homológico de enlaces que categoriza el polinomio de Jones, actualmente conocido como homología de Khovanov. Tomando como punto de partida la redefinición de la homología extrema de Khovanov en función de un grafo construido a partir de un diagrama de un enlace, conjeturamos que la homología extrema de Khovanov es homótopa a un wedge de esferas, lo que implicaría la ausencia de torsión. Probaremos esta conjetura para el caso particular de algunas familias de enlaces.

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Teoría de Morse discreta para redes

Conferenciante: Fabio Strazzeri (University of Southampton)

Resumen:
Hemos investigado cómo la teoría de Morse discreta puede desvelar un flujo subyacente en un grafo. Si consideramos un grafo G con un “potencial” en las aristas (llamado fuerza) y uno en los nodos (llamado importancia), podemos construir un flujo Φ que se derramará desde nodos menos importantes hasta lo mas importantes en G, utilizando las aristas más fuertes. Esto flujo es de Morse porque existe f, una función discreta de Morse en G, que induce Φ. Además, tal flujo nos da una descomposición del grafo en términos de cuencas, o sea en árboles cada uno de los cuales tiene un vértice distinguido que es un punto crítico de f. Este algoritmo puede ser iterado obteniendo una descomposición del grafo en estratos o en otra manera fundiendo los nodos críticos de f paso a paso.

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